最小值

大佬最帅

已知 $x, y, z$ 为正实数，求下式的最小值：
\[
x y+y z+z x+\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{5}{z}
\]

kuing

目测涉高次方程，至于方程有没有简单解等会我开电脑算算

战巡

回复 1# 大佬最帅


软件+人脑，最后得到
\[x=\frac{2}{6^{\frac{2}{3}}},y=\frac{3}{6^{\frac{2}{3}}},z=\frac{6}{6^{\frac{2}{3}}}\]
取得最小值
\[3\cdot 6^{\frac{2}{3}}\]

kuing

固定 `y`, `z`，原式为 `x` 的双勾函数，当 `(y+z)x=1/x` 时取最小值，固定 `z`, `x` 与固定 `x`, `y` 也同理，因此最小值点应满足方程组
\[\led
(y+z)x^2&=1,\\
(z+x)y^2&=2,\\
(x+y)z^2&=5,
\endled\]
可以看出如果按常规方法消元，方程次数一定高，这就是 2# 的判断。

若开挂，用 MMA 发现这个方程恰好有简单解：
\[x=\frac{\sqrt[3]6}3,y=\frac{\sqrt[3]6}2,z=\sqrt[3]6,\quad(*)\]
有了这个解，那么凑均值什么的就OK了，此处从略 见 5#，下面扯扯一般情况。

如果改动 1, 2, 5 这三个数，发现虽然解是非常复杂，但都写得出根式解，似乎终究是要解三次方程，那看来那个方程组应该存在巧妙一些的解法的，于是再尝试解一般数字的。

若方程组为
\[\led
(y+z)x^2&=a,\\
(z+x)y^2&=b,\\
(x+y)z^2&=c,
\endled\]
记 `p=x+y+z`, `q=xy+yz+zx`, `r=xyz`，则有
\[\led
a+b+c&=pq-3r,\\
ab+bc+ca&=q^3-2pqr+3r^2,\\
abc&=(pq-r)r^2,
\endled\]
前后两式消 `pq` 得
\[abc=(a+b+c+2r)r^2,\quad(**)\]
所以 `r` 是三次方程的根，进而 `pq` 与 `q^3` 也都是三次方程的根，解出来之后再解 `x`, `y`, `z` 也是解三次方程，这就证实了刚才的想法。

对于原题，`(a,b,c)=(1,2,5)` 则式 (**) 变成 `5=(4+r)r^2`，立即看到 `r=1` 是一个解，代回上面得 `pq=11`, `q^3=36`，即 `p=11/\sqrt[3]{36}`, `q=\sqrt[3]{36}`，因此 `x`, `y`, `z` 是方程
\[x^3-\frac{11}{\sqrt[3]{36}}x^2+\sqrt[3]{36}x-1=0\]
的三个根，令 `x=\sqrt[3]6t` 化为
\[6t^3-11t^2+6t-1=0\iff(t-1)(2t-1)(3t-1)=0,\]
这样就得到了式 (*) 这个解。

isee

战巡 发表于 2022-3-28 08:04
软件+人脑，最后得到
\[x=\frac{2}{6^{\frac{2}{3}}},y=\frac{3}{6^{\frac{2}{3}}},z=\f ...

\begin{align*}
&\quad xy+yz+zx+\frac 1x+\frac 2y+\frac 5y\\[1em]
&=xy+\frac 13yz+\frac 13yz+\frac 13yz+\frac 12zx+\frac 12zx\\
&\quad  +\frac 1{3x}+\frac 1{3x}+\frac 1{3x}+\frac 1{2y}+\frac 1{2y}+\frac 1{2y}+\frac 1{2y}\\
&\quad +\frac 1z+\frac 1z+\frac 1z+\frac 1z+\frac 1z\\[1em]
&\geqslant 18\sqrt[18]{(\frac 13)^6\cdot (\frac 12)^6\cdot 1^6}
\end{align*}

大佬最帅

设xyz＝k^3，x＝ka/b，y＝kb/c，z＝kc/a
原式＝k^2（a/b+c/b+a/c）+1/k（a/b+2c/b+5a/c）＝（k^2+1/k）b/a+（k^2+2/k）c/b+（k^2+5/k）a/c≥3倍根号3下（k^3+1）（k^3+2）（k^3+5）/k^3
≥3倍根号三下（2k^3/2）3k（6k^1/2）/k^3
＝3倍根号三下36

kuing

本来想点个赞，可是太难读了，点不下手

走走看看

回复 6# 大佬最帅

$(k^3+1)(k^3+2)(k^3+5)≥2k^{\frac{3}{2}}·3k·6k^{\frac{1}{2}}$

这是怎么得到的？

kuing

回复 9# 走走看看

2拆成两个1，5拆成五个1，均值。
ps.改变系数这招就不灵了

lemondian

回复 4# kuing
还有哪些$a,b,c$的值，使得原式有最小值，且使$x,y,z$的值也“好看”？

走走看看

回复 10# kuing

用马保国的话来说，大意啦。谢谢！

isee

回复 11# lemondian
你回的4#，你没有思考4#吧，只是看了一眼

kuing

回复  kuing
还有哪些$a,b,c$的值，使得原式有最小值，且使$x,y,z$的值也“好看”？
lemondian 发表于 2022-3-29 16:14

就是要 4# 的式 (**) 有简单解才会有“好看”。

当然也可以用 6# 的方法，如无意外也会得到相同的式子。

顺便地，6# 可以写得更简洁一些，像这样：
令 `xyz=k`，则
\begin{align*}
xy+yz+zx+\frac ax+\frac by+\frac cz&=\frac{k+a}x+\frac{k+b}y+\frac{k+c}z\\
&\geqslant3\sqrt[3]{\frac{(k+a)(k+b)(k+c)}k},
\end{align*}
变成求函数
\[f(k)=\frac{(k+a)(k+b)(k+c)}k\]
的最小值，求导得
\[f'(k)=\frac{-abc+(a+b+c)k^2+2k^3}{k^2},\]
呐，`f'(k)=0` 就与 4# 的式 (**) 一样了，难度守恒。

lemondian

回复 14# kuing
对的，就是这个意思，可能我说得不够清楚。
能不能再给一两组象原题一样的简单解？（$a,b,c$与$r$值,及取等时$x,y,z$的值）

走走看看

回复 15# lemondian

这有何难呢？

根据4#，令x=1，y=2，z=3，则得到a=5，b=16，c=27。

因此可以得到  一个题目：

x、y、z是正实数，求$xy+xz+yz+\frac{5}{x}+\frac{16}{y}+\frac{27}{z}$的最小值。

根据4#可得到：$(48+2r)r^2=2160$,很容易猜想r=6。

lemondian

回复 16# 走走看看
哎呀，我笨死了，总想着先有a,b,c再算x,y,z