一道不等式求最小值问题

facebooker

已知$a,b>0,2b^2+ab-\frac{4b}{a}+2=0$,则$a+\frac{2}{a}+b$的最小值是__

kuing

懒得想华丽方法，直接用求根公式解出 b 代入化简好了，最后变成
\[\frac{3}{a}+\frac{3 a}{4}-\frac{1}{4} \sqrt{\left( a-\frac 4a \right)^2-16},\]
再换个元 `t=4/a+a` 即
\[\frac 34t-\frac 14\sqrt {t^2-32},\]
下略

Aluminiumor

来个稍微“华丽”点的：
注意到
$$\Big(a+2b\Big)\Big(\frac2a-b\Big)=2-\left(2b^2+ab-\frac{4b}{a}\right)=4$$
故
$$a+\frac2a+b=\Big(a+2b\Big)+\Big(\frac2a-b\Big)\geq2\sqrt{4}=4$$
取等条件为
$$a=3-\sqrt{5},b=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$