求最小值

创之谜

$已知x,y>0,x+3y=x^{3}y^{2}求\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{y}最小值?$

isee

将条件改写为\[x^2=\frac3{xy}+\frac1{y^2},\]
于是由均值不等式，有
\begin{align*}
\left(\frac3x+\frac2y\right)^2&=\frac9{x^2}+4\left(\frac{3}{xy}+\frac1{y^2}\right)\\
&=\frac9{x^2}+4x^2\\
&\geqslant 12,
\end{align*}

再开方即知所求式的最小值为 $2\sqrt3$.

kuing

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isee

kuing 发表于 2025-3-3 19:23
类似题：
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原来这些年都过去了，已经~