昨晚讨论组的 2/a+1/b=1 求 a^2+b^2 最小值

kuing

v6 2022/8/1 20:37:02

这种简单题本来不值一提，主要是 v6 说高一学生搞，要禁用权方和……
我就说齐次化换元求导呗，v6 又说还没学导数，只让用基本不等式……

于是我首先想到的是待定系数均值，在群里回道：
\[a^2+b^2=a^2+\frac{k^3}a+\frac{k^3}a+b^2+\frac{k^3}{2b}+\frac{k^3}{2b}-k^3\geqslant3k^2+\frac{3k^2}{\sqrt[3]4}-k^3,\]
取等条件
\[a^2=\frac{k^3}a,b^2=\frac{k^3}{2b}\riff a=k,b=\frac k{\sqrt[3]2}\riff\frac2k+\frac{\sqrt[3]2}k=1\riff k=2+\sqrt[3]2,\]
代回去即可。

这方法其实也不咋嘀，主要是最后代回去还需要作化简计算，得化到最后才会发现那是个完全立方。

其实既然权方和是 Holder 的特例，当指数为有理数时 Holder `\Leftrightarrow` Carlson，而 Carlson 可以用均值证，因此这题均值肯定能直接写出来，不需要待定系数啥的。
仿照《数学空间》第 14 期最后一页那里的证法，本题就可以这样均值：
\begin{align*}
\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac2a+\frac2a&\geqslant\frac{3\sqrt[3]4}{\sqrt[3]{a^2+b^2}},\\
\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac1b+\frac1b&\geqslant\frac3{\sqrt[3]{a^2+b^2}},
\end{align*}
两式相加即得
\[3\geqslant\frac{3\sqrt[3]4+3}{\sqrt[3]{a^2+b^2}}\iff a^2+b^2\geqslant\bigl(\sqrt[3]4+1\bigr)^3.\]

另外，如果接受柯西，也可以用两次柯西，像这样：
\begin{align*}
(a^2+b^2)\left( \frac{m^3}a+\frac{n^3}b \right)&\geqslant\bigl( \sqrt{m^3a}+\sqrt{n^3b} \bigr)^2,\\
(m^2+n^2)\left( \frac{m^3}a+\frac{n^3}b \right)&\geqslant\left( \sqrt{\frac{m^5}a}+\sqrt{\frac{n^5}b} \right)^2,
\end{align*}
两式相乘后再柯西
\begin{align*}
(a^2+b^2)(m^2+n^2)\left( \frac{m^3}a+\frac{n^3}b \right)^2&\geqslant\bigl( \sqrt{m^3a}+\sqrt{n^3b} \bigr)^2\left( \sqrt{\frac{m^5}a}+\sqrt{\frac{n^5}b} \right)^2\\
&\geqslant(m^2+n^2)^4,
\end{align*}
即得
\[(a^2+b^2)\left( \frac{m^3}a+\frac{n^3}b \right)^2\geqslant(m^2+n^2)^3.\]

isee

我心想那位大神请得动kuing做这种简单题~

==

其实我也发现了，主要是在知乎用柯西待定出来的结果就是权方和不等式（或赫尔德不等式）

==

想了又想，得把 “ Carlson 可以用均值证”丢来算了：

题：对任意正实数有 $(a_1+b_1)(a_2+b_2)(a_3+b_3)\geqslant \left(\sqrt [3]{a_1a_2a_3}+\sqrt [3]{b_1b_2b_3}\right)^3,$ 当且仅当 $\frac {a_1}{b_1}=\frac {a_2}{b_2}=\frac {a_3}{b_3}$ 取等.

证：由均值不等式有

$$\frac {a_1}{a_1+b_1}+\frac {a_2}{a_2+b_2}+\frac {a_3}{a_3+b_3}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac {a_1a_2a_3}{(a_1+b_1)(a_2+b_2)(a_3+b_3)}},$$

$$\frac {b_1}{a_1+b_1}+\frac {b_2}{a_2+b_2}+\frac {b_3}{a_3+b_3}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac {b_1b_2b_3}{(a_1+b_1)(a_2+b_2)(a_3+b_3)}},$$

两式相加，整理即证.


说实话，自从我了解权方和不等式和Carlson不等式后，我往往就用以上证“两个三组数据”的情况，然后说可以推广到一般，然后直接用……哈哈哈（

isee

题：两正实数满足 $\frac 2a+\frac 1b=1$，求 $\sqrt {a^2+b^2}$ 的最小值.


v6 可能需要的是这样子的：

\begin{align*}
\sqrt {a^2+b^2}&=\sqrt {\left(\frac 2a+\frac 1b\right)^2(a^2+b^2)}\\[1ex]
&=\sqrt{\left(\frac{4b^2}{a^2}+\frac {4a}{b}\right)+\frac{a^2}{b^2}+\frac{4b}{a}+5}\\[1ex]
&=\sqrt{\left(\frac{4b^2}{a^2}+\frac {2a}{b}+\frac {2a}{b}\right)+\frac{a^2}{b^2}+\frac{2b}{a}+\frac{2b}{a}+5}\\[1ex]
&\geqslant \sqrt{3\sqrt[3]{16}+\cdots}
\end{align*}


大致是这意思……（反正楼主一看就明了

kuing

isee 发表于 2022-8-3 01:18
题：两正实数满足 $\frac 2a+\frac 1b=1$，求 $\sqrt {a^2+b^2}$ 的最小值.

v6 可能需要的是这样子的：

嗯，这个也好一般系数也适用
\begin{align*}
&\left( \frac{m^3}a+\frac{n^3}b \right)^2(a^2+b^2)\\
={}&\left( \frac{m^6b^2}{a^2}+\frac{m^3n^3a}b+\frac{m^3n^3a}b \right)+\left( \frac{n^6a^2}{b^2}+\frac{m^3n^3b}a+\frac{m^3n^3b}a \right)+m^6+n^6\\
\geqslant{}& 3m^4n^2+3m^2n^4+m^6+n^6\\
={}&(m^2+n^2)^3.
\end{align*}

hbghlyj

等价于:
经过$P(2,1)$的直线与坐标轴交于$A,B$两点,则$\frac2{x_A}+\frac1{y_B}=1$,求$|AB|$的最小值

isee

kuing 发表于 2022-8-3 01:39
嗯，这个也好一般系数也适用

实际就是凑齐次式（另一种形式上的不同）

isee

hbghlyj 发表于 2022-8-3 10:57
等价于:
经过$P(2,1)$的直线与坐标轴交于$A,B$两点,则$\frac2{x_A}+\frac1{y_B}=1$,求$|AB|$的最小值
...

如果真这样子，一般是周长最小值$OA+OB+AB$