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kuing
Posted 2023-3-2 23:18
和之前这帖 forum.php?mod=viewthread&tid=5873 是同一类型，自然是先猜后凑。
也正如我在那帖的 2# 最后一句所说：其实次数大了反而更好猜。
这题观察条件 `x^4+y^6=145` 很容易就发现有 `(x,y)=(3,2)` 这一组极好的数值，没其他了，那只要这题不是钓鱼题，这个肯定就是取等。
然而这题凑过程并没那么顺利，当我凑好系数要作差滴时候：
\[\led
\frac{108}{4-x}-(x^4+27)&=\frac{(x-3)^2x(x^2+2x+3)}{4-x},\\
\frac{96}{5-2y}-(y^6+32)&=\frac{(y-2)^2(2y^5+3y^4+4y^3+4y^2-16)}{5-2y},
\endled\]
最后那个括号不恒正呢，真麻烦，只好分类讨论了：
（1）当 `2y^5+3y^4+4y^3+4y^2\geqslant16` 时，由上面有
\[\frac{108}{4-x}+\frac{96}{5-2y}\geqslant x^4+y^6+59=204,\]
当 `(x,y)=(3,2)` 时取等；
（2）当 `2y^5+3y^4+4y^3+4y^2<16` 时，由均值有 `2y^5+3y^4+4y^3+4y^2\geqslant7y^4+2y^3+4y^2>12y^3`，于是 `y^3<4/3`，进而 `y^6<16/9<2`，那么 `x^4=145-y^6>143`，于是
\[\frac{108}{4-x}+\frac{96}{5-2y}>\frac{108}{4-\sqrt[4]{143}}+\frac{96}5,\]
而在数值上
\[\frac{108}{4-\sqrt[4]{143}}+\frac{96}5>204\iff\sqrt[4]{143}>\frac{263}{77}\]
是成立的。
综上所述，原式最小值就是 `204`。 |
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isee
Posted 2023-3-2 20:33
