简单的实数4元最小值

Canhuang

$a,b,c,d$是实数, $2a-\sqrt3b+6=0$, $\sqrt{12-3c^2}=2d$, 求 $(a-c)^2+(b-d)^2$ 的最小值.
有何代数解法？

睡神

解几算代数吗？纯不等式？或者配方这些？

kuing

类似题：
forum.php?mod=viewthread&tid=2379
以及《撸题集》P.670 题目 5.1.73

kuing

照搬链接里的方法：

由条件及柯西有
\begin{align*}
(a-c)^2+(b-d)^2&=(a-c)^2+\left(\frac{2a+6}{\sqrt3}-\frac{\sqrt{12-3c^2}}2\right)^2\\
&=\frac37\left(\left(-\frac2{\sqrt3}\right)^2+1\right)\left((a-c)^2+\left(\frac{2a+6}{\sqrt3}-\frac{\sqrt{12-3c^2}}2\right)^2\right)\\
&\geqslant\frac37\left(-\frac2{\sqrt3}(a-c)+\frac{2a+6}{\sqrt3}-\frac{\sqrt{12-3c^2}}2\right)^2\\
&=\frac1{28}\bigl(12+4c-3\sqrt{4-c^2}\bigr)^2,
\end{align*}
由均值有
\begin{align*}
12+4c-3\sqrt{4-c^2}&=12+4c-\sqrt{(2-c)(18+9c)}\\
&\geqslant12+4c-\frac{2-c+18+9c}2\\
&=2,
\end{align*}
所以
\[(a-c)^2+(b-d)^2\geqslant\frac17,\]
取等略。

kuing

上面写得不够好看，重写一下：
由条件及柯西有
\begin{align*}
(a-c)^2+(b-d)^2&=\frac17\bigl((-2)^2+3\bigr)\bigl((a-c)^2+(b-d)^2\bigr)\\
&\geqslant\frac17\bigl(-2(a-c)+\sqrt3(b-d)\bigr)^2\\
&=\frac17\bigl(6+2c-\sqrt3d\bigr)^2,
\end{align*}
由条件有 `3c^2+4d^2=12`，再由柯西有
\[\bigl(3c^2+4(-d)^2\bigr)\left(\frac43+\frac34\right)\geqslant\bigl(2c-\sqrt3d\bigr)^2,\]
得到 `\bigl|2c-\sqrt3d\bigr|\leqslant5`，因此 `6+2c-\sqrt3d\geqslant1`，所以
\[(a-c)^2+(b-d)^2\geqslant\frac17,\]
取等略。