一道高考不等式问题

wzyl1860

kuing

这个没难度吧……

首先齐次化，等价于
\[x^2+ky^2\leqslant \frac{x^3+2y^3}{x-y},\]
其中 $x>y>0$，然后分参，再凑分母
\[k\leqslant \frac{x^2+2y^2}{y(x-y)}=\frac{(x-y+y)^2+2y^2}{y(x-y)}
=\frac{(x-y)^2+3y^2}{y(x-y)}+2,\]
由均值显然右边最小值为 $2\sqrt3+2$，这就是 $k$ 的最大值。

isee

这个没难度吧……

首先齐次化，等价于
\[x^2+ky^2\leqslant \frac{x^3+2y^3}{x-y},\]
其中 $x>y>0$，然后 ...
kuing 发表于 2017-2-17 15:03

哈哈，某博客中的解法一致，化齐次。

kuing

回复 3# isee

齐次化消条件，这是最常规的方法啊……

Tesla35

这个应该是早年女子赛或是西部赛的一道题改编的。

游客

齐次很重要，可以换个写法（本质一样）：令 $\frac{x}{y}=m$，代入条件得：
\begin{aligned}
& (m^3+2) y^2=m-1 \Rightarrow y^2=\frac{m-1}{(m^3+2)} \\
& \text{从而 } x^2+k y^2=(m^2+k) y^2=\frac{(m-1)(m^2+k)}{(m^3+2)} \leqslant 1
\end{aligned}对 $m>1$ 恒成立。
即：$k \leqslant \frac{m^2+2}{m-1}$ 对 $m>1$ 恒成立。

其妙

see  here：blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0102vpyq.html

敬畏数学

回复 7# 其妙
wonderful！