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isee
Posted 2017-6-9 13:45
Last edited by isee 2017-6-9 14:10
理科？这个?
已知函数$f\left( x \right) = ax^2 - ax - x\ln x$，且$f\left( x \right) \ge 0$.
(1)求$a$；
(2)证明：$f\left( x \right)$存在唯一的极大值点${x_0}$，且$e^{ - 2} < f\left( x_0 \right) < 2^{ - 2}$.
这个第一问，与2017年四月深圳高三理科调研的导数导数的第二题实际是一样的，好像我在论坛里提过。
a=1
将a=1代回解析式，则第二问也常规的极值点的讨论。理论上不需要你那个大小的比较。
$$f'(x)=2x-\ln x-2\Rightarrow f''(x)=2-\frac 1x=\frac {2x-1}x.$$
$$f'(x)=2x-\ln x-2\Rightarrow f''(x)=2-\frac 1x=\frac {2x-1}x.$$
于是$f'(x)$在$(0,1/2)$单调递减，在$(1/2,+\infty)$单调递增。
极小值$f'(1/2)=\ln 2 -1<0$
进一步，$f'(x)=0$有仅有两个零点，一个是$x=1$，另一个$x=x_0,0<x_0<1/2$.
再进一步，可得$f(x)$有惟一的极大值点$x_0$.
则$f(x)$的极大值
\begin{align*}
f(x_0)&=x_0^2-x_0-x_0 \ln x_0\\
&=x_0^2-x_0-x_0(2x_0-2)\\
&=-x_0^2+x_0\\
&=x_0(1-x_0)\\
&<1/4
\end{align*}
右端证毕。 |
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