条件约束函数最大值

敬畏数学

正数$x，y$满足\[x^2+y^2+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{17}{4},\]求$\dfrac{3}{x}-\dfrac{4}{y}$的最大值。

名落孙山

注意到\begin{align*}\dfrac{17}{4}&=x^2+\dfrac1{8x}+\dfrac1{8x}+\dfrac{3}{4x}+y^2+\dfrac1y+\dfrac1y-\dfrac1y\\&\geq\dfrac{15}4+\dfrac{3}{4x}-\dfrac1y,\end{align*}所以\[\dfrac3x-\dfrac4y\leq2,\]等号当\(\,x=\dfrac12,y=1\,\)时取得，所以最大值就是\(\,2\,\)．

走走看看

回复 2# 名落孙山

妙！
学习了。

isee

回复 2# 名落孙山

为何觉得像是一个马夹。。。若不是，常来啊。。。。

名落孙山

回复 4# isee

不是马甲哦。

isee

回复 5# 名落孙山

又能解题，还会$\mathrm\LaTeX$代码的新人，欢迎欢迎，热烈欢迎。

敬畏数学

回复 2# 名落孙山
跟不上高手的节奏啊！最后那个对$\dfrac{1}{y}$的处理是神来之笔啊。

其妙

回复 6# isee
显然是马甲噻

realnumber

通用的方法或思路呢？
比如求$\frac{5}{x}-\frac{4}{y}$的最大值.

kuing

回复 9# realnumber

如无意外这是凑过数据才能做的题，乱改会变成高次方程的。

kuing

回复 9# realnumber

通常方法的话，按2#的写法，可以有这样的思路：
\begin{align*}
\frac {17}4&=x^2+y^2+\frac 1x+\frac 1y-k\left( {\frac 3x-\frac 4y} \right)+k\left( {\frac 3x-\frac 4y} \right)\\
&=x^2+\frac {1-3k}x+y^2+\frac {1+4k}y+k\left( {\frac 3x-\frac 4y} \right)\\
&\geqslant 3\sqrt[3]{\frac {(1-3k)^2}4}+3\sqrt[3]{\frac {(1+4k)^2}4}+k\left( {\frac 3x-\frac 4y} \right),
\end{align*}
等号成立当且仅当
\[2x^3=1-3k, 2y^3=1+4k,\]
需要将它们以及条件等式联立方程组来解 k 或 x,y。

如果去消元，那显然高次会很高的，行不通的，所以数据一定是设计过的，只能靠目测。

既然数据设计过，取等一定不复杂，不妨目测使 `(1-3k)/2` 与 `(1+4k)/2` 开立方都为有理数的 `k`，注意 `k` 需在 `(0,1/3)` 内取值，要使 `(1-3k)/2` 开立方有理，分母很应该变成 8，更大的立方数应该不会，所以自然去尝试 `k=1/4`，一代入果然刚刚好！然后就KO了。

kuing

当然，如果你有敏锐的直觉，一看就能感觉到这题非目测不可的话，那就不妨一开始就直接对准条件等式来目测有哪些简单的数字满足。

`x^2+y^2+1/x+1/y=17/4`，右边只是 4.25，所以 x,y 的范围很窄，一个 2 就超了，加上分母是 4，那 x,y 的分母应该也不超过 2，所以其实是非常容易目测的，就试一下 1/2，另一个就是 1 了，那 x,y 哪个是 1？当然是减的那个咯，这样一来，连待定都不用了。

敬畏数学

回复 11# kuing
今天又有同样问题。正数$x，y$满足\[x^2+y^2+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{27}{4},\]求$\dfrac{15}{x}-\dfrac{3}{4y}$的最小值。套路一样，待定后，目测x=2,y=1/2。这样的题看来都只能猜出来。

敬畏数学

这样的问题其实就是鼓励刷题！多刷有好处。。。。。