一个二元分式不等式

力工

已知$x,y>0,3x+y=14$，求$\dfrac{x^2}{x+2y}+\dfrac{y^2}{y+2}$的最小值。
说明：最小值在$x=4,y=2$时取到。
我先用均值不等式，待定系数求解，计算非常灰常麻方，知道取等条件后，证明过程改写如下：
证明：$\dfrac{x^2}{x+2y}+\dfrac{x+2y}{4}\geqslant x,\dfrac{y^2}{y+2}+\dfrac{y+2}{4}\geqslant y$，
两式相加，整理得$\dfrac{x^2}{x+2y}+\dfrac{y^2}{y+2}\geqslant \dfrac{3x+y-2}{4}=3$.
我的问题是：
如果不知道取等条件，如何想到这样漂亮的过程 ？求助于大咖们。

kuing

靠猜啊，蒙啊，这些你们不是应该比我还擅长吗？
这样出的题通常答案不会很难看，取等也是，肯定是一些简单的数字，
看条件，如果 x=y 或 3x=y 会出现 7/2 和 7/3，这样答案会很难看，应该不是，
再猜其他整数，有 x=4,y=2、x=3,y=5、还有两组但 y 都在 8 以上了，应该也不会，
代代看就应该试第一组了，最后凑个均值就成了。

kuing

其实稍微分析一下也可以知道这题如果正经地用一般方法来做是不会容易的，
事实上如果稍微改一下系数，马上会出现高次方程，没法解，
因为如果用最原始的方法，消元求导后，两个分式都是分子分母二次式，去分母后变成四次，
所以要解的方程将是四次方程，故此，要使题目能做，数据必须凑好，
既然是凑过的，那无论用什么方法，最终都要目测一次，测出那个简单解才有得玩，
这也是我常说的“难度守恒定律”（如 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=4447&pid=21058），
既然如此，那还不如像上面那样一上来就猜。
所以这样的题其实没什么意思。

敬畏数学

此题，我用心想了一天，求导猜出来答案。"我先用均值不等式，待定系数求解，计算非常灰常麻方，"这是常规的解法啊。。。。详细点

kuing

回复 4# 敬畏数学

待定系数均值无非就是这样：
\begin{align*}
\frac {x^2}{x+2y}+k^2(x+2y)&\geqslant 2kx,\\
\frac {y^2}{y+2}+t^2(y+2)&\geqslant 2ty,
\end{align*}
得
\[\frac {x^2}{x+2y}+\frac {y^2}{y+2}\geqslant (2k-k^2)x+(2t-t^2-2k^2)y-2t^2,\]
系数需要满足
\[\led
&x=k(x+2y),\\
&y=t(y+2),\\
&2k-k^2=3(2t-t^2-2k^2),\\
&3x+y=14,
\endled\]
消 `x`, `y` 后化为
\[\led
&5k^2+2k+3t^2-6t=0,\\
&2kt-7k-8t-7=0,
\endled\]
再消元之后，正如 3# 所预言的那样，出现了四次方程，比如说消 `t`，得
\[20 k^4-152 k^3+319 k^2+254 k-189=0,\]
消 `k` 也一样。

而如果一开始不是消 `x`, `y` 而是消 `k`, `t` 的话，那就是
\[\led
&{-x^2y^2-4x^2y-7x^2+2xy^3+8xy^2-4xy+3y^4+12y^3}=0,\\
&3x+y=14,
\endled\]
同样也是四次，消 `y` 后变成
\[180 x^4-3936 x^3+31841 x^2-112952 x+148176=0,\]
这必然和直接求导计算得出的方程是一致的。

所以这样搞的话，还不如一开始就求导，而一开始求导，又还不如像 2# 那样一开始就猜取等猜答案。

敬畏数学

回复 5# kuing
最近大家都在谈是否用心，这是真正地用心啊！