二次根式函数值域

力工

证明：函数$ f(x,y)=\sqrt{x-y+1}+\sqrt{2x+y-2}+\sqrt{2-x}$的值域为$[\sqrt{\dfrac{5}{3}},\sqrt{\dfrac{35}{3}}]$.

kuing

无难度，由 CS 有
\begin{align*}
f(x,y)&\leqslant \sqrt {(1+1)(x-y+1+2x+y-2)}+\sqrt {2-x}\\
&=\sqrt {6x-2}+\sqrt {2-x}\\
&\leqslant \sqrt {(6+1)\left( {x-\frac 13+2-x} \right)}\\
&=\sqrt {\frac {35}3},
\end{align*}
由 `\sqrt a+\sqrt b\geqslant\sqrt{a+b}` 有
\begin{align*}
f(x,y)&\geqslant \sqrt {x-y+1+2x+y-2}+\sqrt {2-x}\\
&=\sqrt {3x-1}+\sqrt {2-x}\\
&\geqslant \sqrt {x-\frac 13}+\sqrt {2-x}\\
&\geqslant \sqrt {x-\frac 13+2-x}\\
&=\sqrt {\frac 53},
\end{align*}
取等略。

isee

回复 2# kuing

CS 原来是 柯西啊

kuing

回复 3# isee

我在撸题集不是一开始就注明过的么……

敬畏数学

此题求最小值时，x=
1/3取最小值，再放缩。有难度。