一个不等式最值（正数 $2/x+1/y=1$ 求 $x+y+\sqrt{x^2+y^2}$ 范围

力工

正数$x,y$满足$\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}=1$，求$x+y+\sqrt{x^2+y^2}$的范围.
$[10,+\infty )$当$(x,y)=(\frac{10}{3},\frac{5}{2})$时最小.

kuing

FAQ 啊……
过 (2,1) 的直线交坐标轴什么什么求周长的最小值……
这题你不会没见过吧……
旁切圆经典解法……
……

力工

回复 2# kuing

想知道代数怎么解呢。查到一篇文章专门讲这个题了。

kuing

回复 3# 力工

肯定有一堆文章讲这题，因为这题至少十年前，太 FAQ 太经典鸟……

力工

回复 4# kuing
谢谢k大神指路

kuing

当年我大概也写过这么一个坑爹的不等式解法：

命题 1：设 `a`, `b`, `m`, `n>0`, `m/a+n/b=1`，则
\[a+b+\sqrt{a^2+b^2}\geqslant2\bigl( m+n+\sqrt{2mn} \bigr).\]
证明：条件即 `ab=mb+na`，故
\[LHS=\frac{2ab}{a+b-\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{2(mb+na)}{a+b-\sqrt{a^2+b^2}},\]所以等价于证
\[mb+na\geqslant\bigl( m+n+\sqrt{2mn} \bigr)\bigl( a+b-\sqrt{a^2+b^2} \bigr),\]展开整理变成
\[\bigl( m+n+\sqrt{2mn} \bigr)\sqrt{a^2+b^2}\geqslant\bigl( m+\sqrt{2mn} \bigr)a+\bigl( n+\sqrt{2mn} \bigr)b,\]容易验证有
\[\bigl( m+n+\sqrt{2mn} \bigr)^2=\bigl( m+\sqrt{2mn} \bigr)^2+\bigl( n+\sqrt{2mn} \bigr)^2,\]从而由 CS 可知不等式成立，取等略。

kuing

与之对应的是内切圆的：

命题 2：设 `a`, `b`, `m`, `n>0`, `m/a+n/b=1`，则
\[a+b-\sqrt{a^2+b^2}\leqslant2\bigl( m+n-\sqrt{2mn} \bigr).\]
证明：条件即 `ab=mb+na`，故
\[LHS=\frac{2ab}{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{2(mb+na)}{a+b+\sqrt{a^2+b^2}},\]所以等价于证
\[mb+na\leqslant\bigl( m+n-\sqrt{2mn} \bigr)\bigl( a+b+\sqrt{a^2+b^2} \bigr),\]展开整理变成
\[\bigl( m+n-\sqrt{2mn} \bigr)\sqrt{a^2+b^2}\geqslant\bigl( \sqrt{2mn}-m \bigr)a+\bigl( \sqrt{2mn}-n \bigr)b,\quad(*)\]容易验证有
\[\bigl( m+n-\sqrt{2mn} \bigr)^2=\bigl( \sqrt{2mn}-m \bigr)^2+\bigl( \sqrt{2mn}-n \bigr)^2,\]从而由 CS 可知不等式成立。

需要指出的是，要使命题 2 的不等式能取等，需要式 (*) 右边的系数都为正，即 `\sqrt{2mn}>m` 且 `\sqrt{2mn}-n`，也就是要有 `m/n\in (1/2,2)` 的前提下才能取等。（与《撸题集》P.757 题目 5.5.1 的结论相符）

kuing

为便于检索改了标题