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kuing
Posted 2020-6-8 03:43
凑好数据的高次方程型……
随便改系数就不能撸型……
本来想写装逼解法的，不过……还是算了……
条件变成
\[4y+\frac1y+4x-\frac1x=0,\]待定正数 `k` 使得
\begin{align*}
x+\frac1x-3y&=x+\frac1x-3y+k\left( 4y+\frac1y+4x-\frac1x \right)\\
&=(1+4k)x+(1-k)\frac1x+(-3+4k)y+\frac ky\\
&\geqslant2\sqrt{(1+4k)(1-k)}+2\sqrt{k(-3+4k)}\\
&=2\sqrt{1+3k-4k^2}+2\sqrt{-3k+4k^2},
\end{align*}取等条件是
\[x^2=\frac{1-k}{1+4k},\,y^2=\frac k{-3+4k},\]把条件移项 `4y+1/y=1/x-4x` 两边平方变成
\[16(x^2-y^2)+\frac1{x^2}-\frac1{y^2}=16,\]这时代入去分母后就会出现四次方程，但数据是凑好的，猜根发现 `k=3/8` 是根，然而它会使 `y^2` 为负！还得看别的根如何，想不分解都不行，真坑……最终分解为
\[(8k-3)^2(8k^2-6k-1)=0,\]只有 `k=\bigl(3+\sqrt{17}\bigr)/8` 这个根能使各项都为正，好在并不需要把这个难看的数据代进去，因为这时 `4k^2-3k=1/2`，即 `\sqrt{1+3k-4k^2}=\sqrt{-3k+4k^2}=\sqrt{1/2}`，因此结果就是
\[x+\frac1x-3y\geqslant2\sqrt2.\] |
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