一个二元函数的最小值

realnumber

f(x,y)=max{xy,1-x-y+xy,x+y-2xy},$x,y\in $[0,10],
求f(x,y)的最小值.


答案猜测是x=y=$\frac{2}{3}$时,$\frac{4}{9}$,某2项相等猜的,但推理总不能这样写吧.

kuing

变量范围是多余的。

记 `p=x+y`, `q=xy`，则 `p^2\geqslant4q`，原式化为
\[M=\max\{q,1-p+q,p-2q\}.\]

（1）若 `q\leqslant1/9`，则
\[2M\geqslant1-p+q+p-2q=1-q\geqslant\frac89\riff M\geqslant\frac49;\]

（2）若 `1/9<q<4/9`，当 `p<0` 时 `M\geqslant1-p+q>1>4/9`，当 `p\geqslant0` 时 `p\geqslant2\sqrt q`，则
\[M\geqslant p-2q\geqslant2\sqrt q-2q=2\left( \frac23-\sqrt q \right)\left( \sqrt q-\frac13 \right)+\frac49\geqslant\frac49;\]

（3）若 `q\geqslant4/9`，则 `M\geqslant q\geqslant4/9`。

综上，恒有 `M\geqslant4/9`，而 `f(2/3,2/3)=4/9`，所以 `4/9` 就是最小值。

realnumber

也设想过这样一个办法,先固定y,那么都是x的一次函数,总是在x=0,10以及直线交点处取到最值,分类太多就放弃了

其妙

不等式研究欣赏群（群号305078297）里面的一位网友写的解法，