二元最值 求一个优雅的解法

facebooker

已知$a,b\in R,\dfrac{\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-ab\right)}{\left(1+a^{2}\right)\left(1+b^{2}\right)}$的最大最小值为？

kuing

记原式为 `f`，作置换 `(a,b)\to(\tan x,\tan y)`，则
\[f=(\cos x-\sin x)(\cos y-\sin y)\cos(x+y),\]
再作置换 `(x,y)\to(45\du-x,45\du-y)`，则
\[f=2\sin x\sin y\sin(x+y),\]
如果 `x`, `y` 同时变为其相反数，则 `f` 也变为其相反数，所以 `f` 的最大最小值必定互为相反数。积化和差得
\[f=\sin x\cdot\bigl(\cos x-\cos(x+2y)\bigr),\]
于是
\begin{align*}
f^2&=(1-\cos^2x)\bigl(\cos x-\cos(x+2y)\bigr)^2\\
&\leqslant(1-\cos^2x)(\abs{\cos x}+1)^2\\
&=\frac13(3-3t)(1+t)(1+t)(1+t)\quad(t=\abs{\cos x})\\
&\leqslant\frac13\left( {\frac64} \right)^4=\frac{27}{16},
\end{align*}
等号显然是能取的，所以 `f` 的最大最小值就是 `\pm3\sqrt3/4`。

其妙

初看类似，细看不同，不过可以看成姊妹题：mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIxMDYxMDMxOQ==& … 66&lang=zh_CN#rd