两个函数不等式问题 求解惑

facebooker

1、已知函数$f(x)=e^x-a\ln x$,
(1) 当$a=1$时证明$f(x)>2$
(2)若$f(x)$存在极值点$x_0$,且对任意满足$f(x_1)=f(x_2)$的$x_1,x_2$都有$x_1+x_2>2x_0$, 求$a$的取值范围。

2、已知$a,b>0, a^2+b^2=2, \dfrac{2a^2}{b}+\dfrac{3b}{a}$的最小值为___

kuing

第二题哪里是“函数不等式”啊，明摆是“本质涉高次方程非凑好数据不能解型”，两题不应该放在一起。

首先蒙取等，直接蒙最简单的数字 a=b=1。
如果直接消 a 第二个分母会难看，不如先放缩再消：
\[\frac{2a^2}b+\frac{3b}a\geqslant\frac{2a^2}b+\frac{6b}{a^2+1}=\frac{4-2b^2}b+\frac{6b}{3-b^2},\]
蒙的答案是 5 那就不妨直接将上式与 5 作差看看
\[\frac{4-2b^2}b+\frac{6b}{3-b^2}-5=\frac{(b-1)^2(2b^2+9b+12)}{b(3-b^2)}\geqslant0,\]
那就是蒙对了。

多没意思。

facebooker

kuing 发表于 2022-9-13 23:52
第二题哪里是“函数不等式”啊，明摆是“本质涉高次方程非凑好数据不能解型”，两题不应该放在一起。

首先 ...

大佬这蒙的技术绝对一流 佩服！

isee

原来在知乎提问解过这个题



题：若正实数满足 $a^2+b^2=2$ ，则 $\dfrac{2a^2}b+\dfrac{3b}a$ 的最小值为______.


猜想当 $a=b=1$ 有最小值为 5，于是尝试“爆”“力”拆分，作差
\begin{align*}
&\quad\,\frac{2a^2}b+\frac{3b}a-5\\[1ex]
&=\frac{\color{blue}{a^3+a^3+1}+\color{red}{3b^2}-5ab-1}{ab}\\[1ex]
&\geqslant \frac{\color{blue}{3\cdot a\cdot a\cdot 1}+\color{red}{3b^2}-5ab-1}{ab}\\[1ex]
&=\frac{3(a^2+b^2)-5ab-1}{ab}\\[1ex]
&=\frac{5(1-ab)}{ab}\\[1ex]
&\geqslant \frac{5\big(1-\frac {a^2+b^2}2\big)}{ab}\\[1ex]
&=0.
\end{align*}
猜想被证实，运气不错.