二元最值问题

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已知正实数$a,b$满足$2b^{2}+ab-\frac{4b}{a}+2=0\ $则$\ a+\frac{2}{a}+b$的最小值为

kuing

作置换 `a\to2a`，条件变为
\[a-\frac1a+b+\frac1b=0,\]
待定 `k\in(0,1)`，由均值有
\begin{align*}
\text{原式}&=2a+\frac1a+b+k\left(a-\frac1a+b+\frac1b\right)\\
&=(2+k)a+\frac{1-k}a+(1+k)b+\frac kb\\
&\geqslant2\sqrt{(2+k)(1-k)}+2\sqrt{k(1+k)}\\
&=2\sqrt {2-k(1+k)}+2\sqrt {k(1+k)},
\end{align*}
取等条件为
\[a^2=\frac{1-k}{2+k},\,b^2=\frac k{1+k},\]
条件移项代入整理有
\begin{align*}
\frac{1-a^2}a&=\frac{b^2+1}b,\\
\frac{1-\frac{1-k}{2+k}}{\sqrt{\frac{1-k}{2+k}}}&=\frac{\frac k{1+k}+1}{\sqrt{\frac k{1+k}}},\\
\frac{1+2k}{\sqrt{(2+k)(1-k)}}&=\frac{1+2k}{\sqrt{k(1+k)}},\\
k(1+k)&=(2+k)(1-k)=2-k(1+k),\\
k(1+k)&=1,
\end{align*}
在 `(0,1)` 内有解，代回上面，结果就是 `4`。

题目数据凑得好才恰好能解，乱改数据没得玩。