求不等式的技巧方法

nttz

1.已知正实数x和y满足 $ xy(x+y) = 4$,求$2x+y$的最小值
2.已知正实数a和b满足 $3a -5b = 4a^2b^2$,求$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$
求大神说说做题的想法，而不是给出解题步骤

色k

我给主题添加了“二元最值”的标签后，就自动列出了“相关帖子”，楼主可以慢慢看，各种思路各种解法尽在其中。

nttz

色k 发表于 2022-10-14 20:27
我给主题添加了“二元最值”的标签后，就自动列出了“相关帖子”，楼主可以慢慢看，各种思路各种解法尽在其 ...

有没有一个系统的思想方法，而不是一题一技巧，能从思想角度分析下

nttz

色k 发表于 2022-10-14 20:27
我给主题添加了“二元最值”的标签后，就自动列出了“相关帖子”，楼主可以慢慢看，各种思路各种解法尽在其 ...

现实是看一道题就会，换一种就不会了

战巡

nttz 发表于 2022-10-14 20:35
有没有一个系统的思想方法，而不是一题一技巧，能从思想角度分析下

要系统性解法还不简单，偏导+拉格朗日乘数呗，一招包打天下的了

nttz

战巡 发表于 2022-10-14 22:22
要系统性解法还不简单，偏导+拉格朗日乘数呗，一招包打天下的了

要初等解法

isee

源自知乎提问，及更多的解法.




权当是 均值不等式的应用吧，这两题是本质一样的，把第二题搬过来~~

题：正实数满足 $3a-5b=4a^2b^2$ ，则 $\dfrac 1a+\dfrac 1b$ 的最小值为____.

这里强制看作线性的（给出另一种相对通用的处理）：\[\frac 1a+\frac 1b=a^{-1}+b^{-1}=x+y,\] 其中 $a=x^{-1},\;b^{-1}=y$ ——主要是方便阅读习惯——或者理解换元亦可.

于是将条件转化为 \[a^{-1}b^{-1}(3b^{-1}-5a^{-1})=xy(3y-5x)=4,\] 从而有 \[80=10x\cdot 2y\cdot (3y-5x)\leqslant \left(\frac{10x+2y+3y-5x}3\right)^3,\tag{01}\] 即有 \[x+y\geqslant \frac {3\sqrt[3]{80}}5=\frac{6\sqrt[3]{10}}5.\] 取等号时 $10x=2y=3y-5x$ 亦 $y=5x$， $xy(3y-5x)=4.$

如何得到的系数？我真是一眼就看（或者说是猜，正如十字相乘）出来 了，初学者向下看——

以上凑配 $(01)$ 亦可以用待定系数 $mx\cdot ny\cdot (3y-5x)\leqslant \left(\dfrac{(m-5)x+(n+3)y}3\right)^3$ 则等号成立时 $mx=ny=3y-5x$ 得到 \[\left\{\begin{aligned}mx&=ny,\\
5x&=(3-n)y,\end{aligned}\right.\] 进一步知 $\dfrac{m}{5}=\dfrac{n}{3-n},$ 即 $m=\dfrac{5n}{3-n}\tag{02}$.另一方面， $(m-5)x+(n+3)y$ 需要是目标式 $x+y$ 倍数，即对应字母 $x,y$ 的系数成比例 $\dfrac{m-5}1=\dfrac{n+3}1\tag{03}$ 联立 $(02),(03)$ 解正数解 $m=10,\;n=2$.