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我们在这里看一个来自意大利数学家 Giuseppe Peano 的例子，一个定义在 $\Bbb R^2$ 上的实函数 $f$。 $f$ 沿所有穿过原点的直线在原点处具有极小值，但是 $f$ 作为二元函数在原点处没有极小值。
\[f(x, y) = (y-3x^2)(y-x^2)\]
特别地，在开集 $U=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \ : \ x^2 < y < 3x^2\}$ 上 $f<0$，在抛物线 $y=x^2$ 和 $y=3x^2$ 上 $f=0$，其他地方 $f>0$。
考虑通过原点的直线 $D:y=λx,λ>0$。我们有\[f(x, \lambda x)= x^2(\lambda-3x)(\lambda -x).\]
对于 \(x \in (-\infty,\frac{\lambda}{3}) \setminus \{0\}\), 有 \(f(x, \lambda x) > 0\). 而 \(f( 0,0)=0\), 这证明了 \(f\) 沿 \(D\) 在原点处具有极小值。
沿着 \(x\) 轴，\(f(x,0)=3 x^ 4\) 在原点处具有极小值。
沿着 \(y\) 轴，\(f(0,y)=y^2\) 在原点处具有极小值。
沿着抛物线 \(\mathcal{P}:y = 2 x^2\) 我们有 \(f(x,2 x^2)=-x^4<0\) 对于 \(x \neq 0\)。因为 \(\mathcal{P}\) 通过原点，\(f\) 在原点的所有邻域内既取正值也取负值。这证明了 \((0,0)\) 不是 $f$ 的极小值点。 | 
