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v6mm131 2025/4/15 16:51
已知函数 `f(x)` 与它的导函数 `f'(x)` 是定义在 `\mbb R` 上的函数，
\[f(x+y)=f(x)f(y)+\frac{xy}{e^{x+y}},\]
则（ ）
A. `f(0)=1` B. `f'(1)=1` C. `f(x)` 是奇函数 D. `f(x)` 是增函数
【答案】ABD
这个题有问题没有
这是我一个同事编的题
鱼子 2025/4/15 17:10
真能编，怪里怪气的题
v6mm131 2025/4/15 17:20
这是他给金太阳编的题 我感觉有问题
晚上等kk来吧
令 `g(x)=e^xf(x)`，则已知等式等价于
\[g(x+y)=g(x)g(y)+xy,\quad(*)\]
在式 (*) 令 `x=y=0` 得 `g(0)=g(0)^2`，则 `g(0)=0` 或 `1`，假设 `g(0)=0`，则式 (*) 令 `y=0` 得 `g(x)` 恒为零，这显然与式 (*) 矛盾，所以 `g(0)=1`。
在式 (*) 令 `y=-x` 得 `g(0)=g(x)g(-x)-x^2`，即
\[g(x)g(-x)=1+x^2.\quad(**)\]
依题意 `f(x)` 可导，则 `g(x)` 也可导，式 (*) 对 `y` 求导得
\[g'(x+y)=g(x)g'(y)+x,\]
记 `g'(0)=a`，则上式令 `y=0` 得
\[g'(x)=g(x)\cdot a+x,\]
若 `a=0`，即 `g'(x)=x`，则 `g(x)=x^2/2+C`，这显然不满足式 (**)，
所以 `a\ne0`，则
\begin{align*}
g'(x)=g(x)\cdot a+x
&\iff g'(x)e^{-ax}+g(x)(-a)e^{-ax}=xe^{-ax}\\
&\iff\bigl(g(x)e^{-ax}\bigr)'=xe^{-ax}\\
&\iff g(x)e^{-ax}=\int xe^{-ax}\rmd x=-\frac{e^{-ax}(1+ax)}{a^2}+C\\
&\iff g(x)=-\frac{1+ax}{a^2}+Ce^{ax},
\end{align*}
那么
\begin{align*}
g(x)g(-x)&=\left(-\frac{1+ax}{a^2}+Ce^{ax}\right)\left(-\frac{1-ax}{a^2}+Ce^{-ax}\right)\\
&=\frac1{a^4}-\frac{x^2}{a^2}+C^2-\frac{1+ax}{a^2}Ce^{-ax}-\frac{1-ax}{a^2}Ce^{ax},
\end{align*}
与式 (**) 比较，那就只能是
\[C=0,~\frac1{a^4}=-\frac1{a^2}=1\riff a=\pm i,\]
也就是
\[g(x)=1\pm ix,\]
所以是错题？！？！？！
emmm..... 好像也不能这样说，毕竟题目只是说函数定义在 `\mbb R` 上，没说过值域也必须是实数呀😁
在复变函数里的话或许可以吧（我不懂复变😥）
经检验，`g(x)=1\pm ix` 的确满足 `g(x+y)=g(x)g(y)+xy`，也就是说，满足本题的 `f(x)` 只能是
\[f(x)=\frac{1\pm ix}{e^x},\]
得 `f'(1)=-1/e`，所以本题只能选 A。 |
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