正实数满足$x+4y=x^2y^3$则$8/x+1/y$的最小值为

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正实数$x,y$满足$x+4y=x^2y^3$则$\frac 8x+\frac 1y$的最小值为_2\sqrt 2__.

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简单翻了一下开学考，发现是《浙江省名校协作体2021-2022学年高三上学期开学联考数学试题》中的第16题.

高三模拟题中的，那多半可以均值不等式的喽.

尝试下一元，由已知的话要开根号，避开，从所求出发吧，记$\frac 8x+\frac 1y=t$，则
\begin{align*}
\frac 8x+\frac 1y&=t\\
x&=\frac {8y}{ty-1}\\
\therefore \frac {8y}{ty-1}+4y&=\left(\frac {8y}{ty-1}\right)^2y^3
\end{align*}
耐心化整式$$16y^4-t^2y^2+1=0,$$嘿，这个数据凑得也是“太巧”了$$t^2=16y^2+\frac 1{y^2}\geqslant 8,$$下略.

kuing

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zhihu.com/question/483946898/answer/2096929761
数据的确给得太好。
需要指出，这题改系数也能解，不是必须凑好的。

isee

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原来如此齐次化

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帖过来，做个记号，哈哈哈

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题：若实数 $x,y>0$ 满足 $(x-y)^2=(xy)^3$，则 $\frac 1x+\frac 1y$的最小值为_2_.

源自B站首页推荐，南开中学高一数学期中卷第16题.

kuing

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\[\left(\frac1x+\frac1y\right)^2=\frac{(x-y)^2+4xy}{(xy)^2}=\frac{x^2y^2+4}{xy}\geqslant4\riff\frac1x+\frac1y\geqslant2,\]取等为 `xy=2` 且 `x-y=\sqrt8`，有解。

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这题——南开中学高一数学期中第16题——与主楼太像了，其次与 二元高次 有一脉相承的感觉.

如果还如主楼一般操作 $\frac 1x+\frac 1y=t$，(消 $x$) 最后得到的是关于 $y$ 的四次五项式 $y^4-t^3y^3+5t^2y^2-8ty+4=0$，没那么幸运了.
不过，将结果齐次化倒是容易的 $\frac 1x+\frac 1y=\frac {x+y}{xy}\cdot \frac {(xy)^3}{(x-y)^2}=\frac {(x+y)xy}{(x-y)^2}$，随后细节上的处理还需要小心.


本楼用换元+待定系数法试试.


设 $1/x=a, 1/y=b$，则题重述为：$a,b>0$，$ab(a-b)^2=1$，则 $a+b$ 的最小值为_____.

这样一看就顺眼多了：
$$4=\left(2\sqrt 2-2\right)a\cdot \left(2\sqrt 2+2\right)b\cdot (a-b)^2\leqslant \left(\frac {2\sqrt 2(a+b)}4\right)^4,$$
取 “=” 时，$a=\frac {2+\sqrt 2}2 ,b=\frac {2-\sqrt 2}2$.

另外，相对简法的写法是$$\frac 1{ab}=(a-b)^2=(a+b)^2-4ab\iff (a+b)^2=\frac 1{ab}+4ab\geqslant 4,$$取 “=” 略.

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\[\left(\frac1x+\frac1y\right)^2=\frac{(x-y)^2+4xy}{(xy)^2}=\frac{x^2y^2+4}{xy}\geqslan ...
kuing 发表于 2021-11-14 14:31

与 up 主本质相同，但你的过程就简洁高效了，哈哈哈哈哈，我就是觉得变换麻烦才换元的，不过，这个过程一出，换元就多余了，哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈

走走看看

isee 发表于 2021-11-14 14:40
回复 6# isee

这题——南开中学高一数学期中第16题——与主楼太像了，其次与 二元高次 有一脉相承的感觉. ...

看了你的这个帖子，按照你的思想，也可以简写一下：

$4=4ab*(a-b)^2\le(\frac{4ab+(a-b)^2}{2})^2 =\frac{(a+b)^4}{4}$

kuing

kuing 发表于 2021-9-18 11:12
回复 2# isee

...
需要指出，这题改系数也能解，不是必须凑好的。

数据没凑好同样能解只是答案不好看的一例：
zhihu.com/question/550259519/answer/2648135406

isee

kuing 发表于 2022-8-27 18:44
数据没凑好同样能解只是答案不好看的一例：
https://www.zhihu.com/question/550259519/answer/264813540 ...

匿名的是你吧？两边反应这神速的人应该是