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粤Y爱好者Joseph(1785***) 22:45:41
a>0，b>0，求
的最大值
有点意思。
令 $a=\sin x$, $b=\sin y$, $x$, $y\in (0,\pi/2]$，则由琴生不等式有
\begin{align*}
(a+b)\sqrt{1-a^2}+a\sqrt{1-b^2}
&=(\sin x+\sin y)\cos x+\sin x\cos y \\
&=\frac12\sin 2x+\sin (x+y) \\
&=\frac12\bigl(\sin 2x+\sin (\pi-x-y)+\sin (\pi-x-y)\bigr) \\
&\leqslant \frac32\sin \frac{2x+\pi-x-y+\pi-x-y}3 \\
&=\frac32\sin \frac{2(\pi-y)}3,
\end{align*}
当 $2x=\pi-x-y$ 即 $x=(\pi-y)/3$ 时取等，所以
\[b\bigl((a+b)\sqrt{1-a^2}+a\sqrt{1-b^2}\bigr)\leqslant \frac32\sin y\sin \frac{2(\pi-y)}3,\]
再令 $y=\pi-3u$, $u\in [\pi/6,\pi/3)$，则
\[\frac32\sin y\sin \frac{2(\pi-y)}3=\frac32\sin 3u\sin 2u=\frac34(\cos u-\cos 5u)=f(u),\]
那么
\[f'(u)=\frac34(5\sin 5u-\sin u)=3\sin u(20\sin^4u-25\sin^2u+6),\]
由 $u\in [\pi/6,\pi/3)$ 得 $\sin^2u\in [1/4,3/4)$，由此易知 $f'(u)$ 先正后负，即 $f(u)$ 在 $[\pi/6,\pi/3)$ 上先增后减，取大值时不难计算出
\[\sin u=\frac12\sqrt{\frac{25-\sqrt{145}}{10}},
\cos u=\frac12\sqrt{\frac{15+\sqrt{145}}{10}},\]
代回去计算最终得到
\[f(u)_{\max}=\frac3{20}\sqrt{\frac{475+29\sqrt{145}}{10}},\]
所以
\[b\bigl((a+b)\sqrt{1-a^2}+a\sqrt{1-b^2}\bigr)\leqslant \frac3{20}\sqrt{\frac{475+29\sqrt{145}}{10}},\]
将取等时的值代回 $a$, $b$ 中计算可得取等条件为
\[a=\frac12\sqrt{\frac{25-\sqrt{145}}{10}},
b=\frac15\sqrt{\frac{35+\sqrt{145}}2},\]
所以原式的最大值就是
\[\frac3{20}\sqrt{\frac{475+29\sqrt{145}}{10}},\]
其近似值约为 $1.36$。 |
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其妙
Post time 2015-9-3 19:57
