二元函数最小值

敬畏数学

$x，y$均正数，$ xy(x+2y) =2$，则
$ x+y $的最小值___。
$ （x+y）^2=x^2+2xy+y^2=x(x+2y)+y^2=\frac{2}{y}+y^2=\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+y^2\geqslant 3，x+y\geqslant \sqrt{3} $，等号取得：$ x=\sqrt{3}-1，y=1 $

realnumber

待定系数法得出常数a,b
$(ax)(by)(x+2y)=2ab\le (\frac{ax+by+x+2y}{3})^3$,a+1=b+2,ax=by=x+2y

敬畏数学

$ x>0，y>0，\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1，x^2+y^2-6x $的最小值______。
$ \frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1 $，即：$ x+2y-xy=0 $，$ （x-2）(y-1)=2 $，设$ m=x-2，n=y-1 $，即$ mn=2 $，$ x^2+y^2-6x=(x-3)^2+y^2-9=(m-1)^2+(n+1)^2-9=m^2+n^2-2(m-n) -7=(m-n)^2-2(m-n)+2mn-7=(m-n-1)^2-4\geqslant -4$，等号取得满足：$ m-n=1，mn=2 $，即：$ m=2，n=1 $

力工

回复 3# 敬畏数学

有明显的几何意义，但求切点不好算啊。随手甩的一道吧。敬先生。

色k

\[(x^2+y^2)\left( \frac2x+\frac1y \right)^2-6x\left( \frac2x+\frac1y \right)+4=\frac{(x-2y)^2(x+y)^2}{x^2y^2}\geqslant0\]

色k

回复 4# 力工

肯定不是随手的，数据是经过设计的，否则就会是四次方程。

realnumber

$ x>0，y>0，\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1，x^2+y^2-6x $的最小值______。再来一个。
敬畏数学 发表于 2019-5-20 20:56

（平移可以变）反比例函数上设一点A.
B(3,0),AB和A处切线垂直

敬畏数学

回复 2# realnumber 这个待定可以a，b能求出吗？

敬畏数学

回复 5# 色k
配方？

敬畏数学

回复 4# 力工
也这样想，但好像计算不太可行啊。

色k

回复 9# 敬畏数学

参见这帖 forum.php?mod=redirect&goto=findpost& … d=5557&pid=28002 的3楼。

色k

又或者这帖 forum.php?mod=redirect&goto=findpost& … d=5392&pid=26849 的3楼。