来自网友的一道向量，高考题改编

kuing

长**侠  13:54:43
已知平面向量 $a, b$ 满足 $|a|=4,|b|=2$，若对任意共面的单位向量 $e$，记 $|a \cdot e|+|b \cdot e|$ 的最大值为 $M$，则 $M$ 的最小值等于

一看就是当年 forum.php?mod=viewthread&tid=4103 的高考题改编的，那帖我的坐标法似乎还能用，但刚才细想了下好像又有点问题，算了，重新来过，下面用 max 的方法（好像是从游客那里学来的）。

解：因为 $\abs x+\abs y=\max\{\abs{x+y},\abs{x-y}\}$，所以
\[
\abs{\bm a\cdot\bm e}+\abs{\bm b\cdot\bm e}
=\max\{\abs{(\bm a+\bm b)\cdot\bm e},\abs{(\bm a-\bm b)\cdot\bm e}\}
\leqslant\max\{\abs{\bm a+\bm b},\abs{\bm a-\bm b}\},
\]由 $\bm e$ 的任意性，总可以使 $\bm e$ 的方向与 $\bm a+\bm b$ 或 $\bm a-\bm b$ 共线，所以等号一定能取，因此
\[
M=\max\{\abs{\bm a+\bm b},\abs{\bm a-\bm b}\},
\]所以
\[2M^2\geqslant(\bm a+\bm b)^2+(\bm a-\bm b)^2=2(\bm a^2+\bm b^2),\]即
\[M\geqslant\sqrt{\bm a^2+\bm b^2}=2\sqrt5,\]当 $\bm a\perp\bm b$ 时取等。

isee

回复 1# kuing

看到两向量和与差的模，就想到平行四边形的两条对角线长的构造方向了

kuing

补充一个 link: forum.php?mod=viewthread&tid=4943
一般地，$\abs{\bm a_1\cdot\bm e}+\abs{\bm a_2\cdot\bm e}+\cdots+\abs{\bm a_n\cdot\bm e}$ 的最大值为 $\max\{\abs{\bm a_1\pm\bm a_2\pm\cdots\pm\bm a_n}\}$。
但是，当所有 $\bm a_i$ 的长度都给定，但方向不确定时，这个最大值的最小值又如何呢？
而且多个向量时可能还要看维数，空间和平面的结果可能会不同（就好像当年这题那样）