一道不等式题

ruichen

设 $x, y \inR^+$，求 $\frac{x y}{x^2+y^2}+\frac{x y}{x^2+8 y^2}$ 的最大值

kuing

你可能抄漏了某系数，请检查一下。

敬畏数学

forum.php?mod=viewthread&tid=5758套路题。

其妙

求 $P=\frac{a b}{2 a^2+b^2}+\frac{a b}{a^2+2 b^2}$ 的最大值
用两种以上的方法

kuing

回复 4# 其妙

其实化为单变量求导，以及先猜结果 `2/3` 再对 `P-2/3` 强行通分分解，这些 Bao 力流都必定能做，这就已经算是两种证法了，你的意思大概这些都不在考虑范围吧？……

显然只需考虑 `a`, `b>0` 时，故下面的证法均按此设。

法一：用 3# 链接中的链接中的均值法再加个小 CS
\begin{align*}
P&=\frac{ab}{a^2+a^2+b^2}+\frac{ab}{a^2+b^2+b^2}\\
&\leqslant\frac b{a+2b}+\frac a{2a+b}\\
&\leqslant\frac b9\left( \frac4{a+b}+\frac1b \right)+\frac a9\left( \frac4{a+b}+\frac1a \right)\\
&=\frac23,
\end{align*}当 `a=b` 时取等；

法二：在上面放缩到第二行时也可以用另一种 CS，麻烦一点儿
\begin{align*}
\cdots&=1-\frac12\left( \frac a{a+2b}+\frac b{2a+b} \right)\\
&\leqslant1-\frac12\cdot\frac{(a+b)^2}{a(a+2b)+b(2a+b)}\\
&=1-\frac12\cdot\frac{(a+b)^2}{a^2+4ab+b^2}\\
&\leqslant1-\frac12\cdot\frac23=\frac23;
\end{align*}

要两种以上，那就给够三种吧，先耍个赖，将法一改写，变成：
法三：因为
\[\frac{ab}{2a^2+b^2}-\frac{a+5b}{9(a+b)}=-\frac{(a-b)^2(2a+5b)}{9(a+b)(2a^2+b^2)}\leqslant0,\]同理有另外一式，故
\[P\leqslant\frac{a+5b}{9(a+b)}+\frac{5a+b}{9(a+b)}=\frac23;\]
不过这么明显的改写行为，恐怕大家也不会买帐，那这个就不算，扔掉再来……

又用一下这两天连续用了两次的齐次菊部构造，顺便带点装逼效果：
法三：因为
\[\frac{x^3}{2x^6+1}-\frac23\cdot\frac1{x^2+1}=-\frac{(x-1)^2(4x^4+5x^3+6x^2+4x+2)}{3(x^2+1)(2x^6+1)}\leqslant0,\]令 `x^3=a/b` 即得
\[\frac{ab}{2a^2+b^2}\leqslant\frac23\cdot\frac{b^{2/3}}{a^{2/3}+b^{2/3}},\]同理
\[\frac{ab}{a^2+2b^2}\leqslant\frac23\cdot\frac{a^{2/3}}{a^{2/3}+b^{2/3}},\]相加即得 `P\leqslant2/3`。

其妙

回复 5# kuing

法一的放缩我也考虑过，运气不好的是放缩后分母不一样，不像以前的的帖子，放缩后再约分后分母是一样的，便于相加后为常数，然kk居然能用柯西拯救回来（当然也曾经这样放缩过）；方法二和我想的差不多（也可以考虑分母换元）；方法三正好说明可以适当放缩后，使分母一样，便于相加后为常数，即为菊部不等式，这正是我想要的效果，只是诧异的是只能放缩为含指数形式的（以前也见过不少这类指数形式的放缩，却是无论如何也想不到的），厉害！

其妙

回复 6# 其妙
例如：
已知 $a, b>0$，且 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{3}$，则 $\frac{1}{a-1}+\frac{4}{b-1}$ 的最小值为

解：由柯西不等式得，$\frac{1}{a-1}+\frac{(5 / 4)^2}{1} \geq \frac{(1+5 / 4)^2}{a}=\frac{81}{16 a}, \frac{4}{b-1}+\frac{(1 / 4)^2}{1} \geq \frac{81}{16 b}$，
两式相加得，$\frac{1}{a-1}+\frac{4}{b-1}+\frac{26}{16} \geq \frac{81}{16 a}+\frac{81}{16 b}=\frac{81}{16} \times \frac{2}{3}=\frac{27}{8}$，
即 $\frac{1}{a-1}+\frac{4}{b-1} \geq \frac{27-13}{8}=\frac{7}{4}$，当且仅当 $a=\frac{9}{5}, b=9$ 取等号．

其妙

再如（不过连小菜都算不上，）：
设 $a, b, c>0, \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2$，求证：$\frac{1}{4 a+1}+\frac{1}{4 b+1}+\frac{1}{4 c+1} \geq 1$．

kuing

看来楼主是不会来修改 1# 的题目了，那我就丢个一般系数结果出来好了：

给定正数 `k`，有
\[\frac{xy}{kx^2+y^2}+\frac{xy}{x^2+ky^2}=\frac{k+1}{ka+\frac{(k-1)^2}a},\]其中
\[a=\frac xy+\frac yx\in[2,+\infty),\]于是：

（1）当 `(k-1)^2<4k`，即 `3-2\sqrt2<k<3+2\sqrt2` 时
\[\frac{xy}{kx^2+y^2}+\frac{xy}{x^2+ky^2}\leqslant\frac{k+1}{2k+\frac{(k-1)^2}2}=\frac2{k+1};\]（2）当 `0<k\leqslant3-2\sqrt2\lor k\geqslant3+2\sqrt2` 时
\[\frac{xy}{kx^2+y^2}+\frac{xy}{x^2+ky^2}\leqslant\frac{k+1}{2\sqrt{k(k-1)^2}}.\]

所以，假如楼主是抄漏了第一个分母的系数 8 的话，那就属于情形（2），这时前面的那些 CS 解法之类的恐怕就没那么好使了。

ruichen

K神既然搞出个一般结沦  厉害

kuing

前些天的 zhihu.com/question/600998485/answer/3028100750 我把上面几种解法搬了过去，提问者评论说繁琐，早知道只写法一。