正实数满足$x+\frac 2x+y+\frac 6y=10$求$5/y-2/x$最大值

isee

正实数$x,y$满足$x+\frac 2x+y+\frac 6y=10$求$\frac 5y-\frac 2x$最大值__4__

isee

也是浙江的（开学考，高三），《浙江省嘉兴市2022届高三上学期基础测试数学试题》。

估计也能如反代回，不过，计算量有些大，直接凑呢？

\begin{align*}
\frac 5y-\frac 2x&=10-x-\frac 2x-y-\frac 6y+\frac 5y-\frac 2x\\
&=10-x-\frac 4x-y-\frac 1y\\
&\leqslant 10+(-4)+(-2)\\
&=4
\end{align*}

哈哈，这个+0，怎么像拉格朗日数乘法的简化呢（或者说是“反”写）

isee

升级版：forum.php?mod=viewthread&tid=4987

链接里的13#，$x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{17}{4},$求$\frac{15}{x}-\frac{3}{4y}$最小值，如此泡制
\begin{align*}
\frac{15}{x}-\frac{3}{4y}&=x^2+y^2+\frac{1}{x}+\dfrac{1}{y}-\frac{17}{4}+\frac{15}{x}-\frac{3}{4y}\\
&=x^2+y^2+\frac{16}{x}+\dfrac{1}{4y}-\frac{17}{4}\\
&=\left(x^2+\frac{16}{x}\right)+\left(y^2+\dfrac{1}{4y}\right)-\frac{17}{4}\\
&\geqslant 12+\frac 34-\frac{17}{4}\\
&\cdots
\end{align*}

敬畏数学

一样的方法，设目标为P，然后进行加减就可以基本不等式消元，几乎没有要求的不等式。

isee

源自知乎提问，估计提问者 沙原** 是浙江的，好些提问有些麻烦的~

题：已知两正实数满足 $a+b+\frac 2a+\frac 5b=8$，则 $\frac 2a-\frac 4b$ 的最小值为____.

\begin{align*} \frac 2a-\frac 4b&=\frac 2a-\frac 4b+\color{blue}{a+b+\frac 2a+\frac 5b-8}\\[1em] &=\left(\frac 4a+a\right)+\left(\frac 1b+b\right)-8\\[1em] &\geqslant 2\sqrt 4+2-8\\[1em] &=-2. \end{align*}

取“=”略.