二元分式函数的最值问题

敬畏数学

$x,y$均为正数，且$x+y\geqslant3$，则$2x^2+y^2+\dfrac{28}{x}+\dfrac{1}{y}$的最小值______？

kuing

令 $f(x)=2x^2+28/x$，易证其在 $\bigl(0,\sqrt[3]7\bigr)$ 递减，在 $\bigl(\sqrt[3]7,+\infty\bigr)$ 递增；
令 $g(y)=y^2+1/y$，易证其在 $\bigl(0,\sqrt[3]{1/2}\bigr)$ 递减，在 $\bigl(\sqrt[3]{1/2},+\infty\bigr)$ 递增。

（1）当 $y\leqslant 3-\sqrt[3]7$ 时，则 $x\geqslant 3-y\geqslant\sqrt[3]7$，所以
\[f(x)+g(y)\geqslant f(3-y)+g(y),\]
接下来可以求导解决，不过我懒得写了，反正我已经计算出结果是 $24$，就直接用来作差得了，有
\[f(3-y)+g(y)-24=\frac {3(y-1)^2(1+5y-y^2)}{(3-y)y}\geqslant 0,\]
从而 $f(x)+g(y)\geqslant 24$；

（2）当 $y>3-\sqrt[3]7$ 时，因为在数值上有 $3-\sqrt[3]7>\sqrt[3]{1/2}$，所以 $g(y)>g\bigl(3-\sqrt[3]7\bigr)$，因此
\[f(x)+g(y)>f\bigl(\sqrt[3]7\bigr)+g\bigl(3-\sqrt[3]7\bigr),\]
上式右边相当于（1）中的 $y$ 取 $3-\sqrt[3]7$ 时的情形，所以肯定也大于 $24$。

综上所述，恒有 $f(x)+g(y)\geqslant 24$，当 $x=2$, $y=1$ 时取等，所以最小值就是 $24$。

敬畏数学

OK！下面好好看下，刚才试了下用不等式没有做出来。我的想法是凑出x+y≥3，其余全部消失掉。前面两个二次项可以柯西解决，后面两个一次项用均值消掉。用待定系数法似乎可以做出？？？

kuing

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那你待定出来了没有？

敬畏数学

即所求式子变为：
\begin{align*}
&\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}+(2-\frac{1}{m})x^2+\frac{14}{x}+\frac{14}{x}+(1-\frac{1}{n})y^2+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2y}\\
&\geqslant \frac{(x+y)^2}{m+n}+3\sqrt[3]{(2-\frac{1}{m})(14)^2}+3\sqrt[3]{(1-\frac{1}{n})(\frac{1}{2})^2}\\
&\geqslant \frac{9}{m+n}+3\sqrt[3]{(2-\frac{1}{m})(14)^2}+3\sqrt[3]{(1-\frac{1}{n})(\frac{1}{2})^2}\\
\end{align*}
等号成立，当且仅当满足；$\begin{cases}
(2-\frac{1}{m})x^3=14 \\
(1-\frac{1}{n})y^3=\frac{1}{2} \\
nx=my\\
x+y=3\\
\end{cases}$
解得：\[m=4，x=n=2,y=1\]
即所求式子的最小值为24.

kuing

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这是OK的。

其妙

see also：blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0102wtt2.html

aaa

已知 $a,b>0$,且 $a+b\geqslant 3$,则 $m=2a^2+b^2+\dfrac{28}{a}+\dfrac 1b$ 的最小值

请问一下有通法吗？

kuing

因为本质涉及高次方程，根据难度守恒定律，要通法是无意义的。

又因为题目的数据必然是命题者设计过的，取等及结果一定是简单的，所以你只需用任意方式看出取等条件（可以直接靠蒙、试特殊值，可以稍作计算再目测、当然也可以暴力求导等，总之随你喜欢就好，反正不需要写出来），再根据取等来凑不等式就行了。

比如，我靠蒙特殊值，猜测 a=2, b=1 时取等，于是配以
`2a^2+8\ge8a`,
`b^2+1\ge2b`,
`28/a+7a\ge28`,
`1/b+b\ge2`，
相加得 `m+9+7a+b\ge8a+2b+30`，
即 `m\ge a+b+21\ge24`。

类似的例子：
forum.php?mod=viewthread&tid=5313
forum.php?mod=redirect&goto=findpost& … d=4447&pid=21058

aaa

谢谢kuing大神

敬畏数学

突然发现很多难啃的题就靠蒙。

敬畏数学

类似最小值。forum.php?mod=viewthread&tid=5391&extra=page=1

kuing

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这个根本不类似，因为那题是可以算出来的，很简单，完全不需要蒙，如果你认为我那过程是蒙出来的话，说明你还没理解。

敬畏数学

回复 6# kuing
我是蒙的最小值。可以直接靠蒙、试特殊值，可以稍作计算再目测、当然也可以暴力求导等，总之随你喜欢就好，反正不需要写出来，这很经典啊。

创之谜

forum.php?mod=viewthread&tid=5019
这不一样的吗?