2a^2+b^2=9,不会了

realnumber

正数a,b,满足$2a^2+b^2=9$,则$\frac{4}{a}+\frac{1}{b+1}$的最小值为

hbghlyj

双曲线与椭圆相切
\[\min\Set{\frac4a + \frac1{b + 1}|2 a^2 + b^2 = 9,a>0,b>0}≈2.5\text{ at }(a, b)≈(2., 1.)\]

1. Minimize[{4/a + 1/(b + 1), 2 a^2 + b^2 == 9,a>0,b>0}, {a, b}]
2. {{2.5, {a -> 2., b -> 1.}}}

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$18=(2a^2+8)+(b^2+1)\ge 8a+2b$,
$(\frac{4}{a}+\frac{1}{b+1})10\ge (\frac{4}{a}+\frac{1}{b+1})(4a+(b+1))\ge 25$,在a=2,b=1取等.

hbghlyj

\[\min\Set{2 a^2 + b^2|\frac4a + \frac1{b + 1}=2.5,a>0,b>0}≈9\text{ at }(a, b)≈(2., 1.)\]

1. Minimize[{2 a^2 + b^2, 4/a + (1 + b)^(-1) == 2.5 && a > 0 && b > 0}, {a, b}]
2. {{9., {a -> 2., b -> 1.}}}

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realnumber

hbghlyj 发表于 2023-5-24 07:17
\[\min\Set{2 a^2 + b^2|\frac4a + \frac1{b + 1}=2.5,a>0,b>0}≈9\text{ at }(a, b)≈(2., 1.)\]

3楼办法还是可用，别的办法有吗？若改个数据，比如b
+2怎么做？

isee

realnumber 发表于 2023-5-24 07:38
3楼办法还是可用，别的办法有吗？若改个数据，比如b
+2怎么做？

数据都是设计好的，不可随意配，否则涉及高次方程.

一样的题：
forum.php?mod=viewthread&tid=9934

kuing

realnumber 发表于 2023-5-24 07:38
3楼办法还是可用，别的办法有吗？若改个数据，比如b
+2怎么做？

这类题型我称之为“本质涉及高次方程，非凑好数据不能解”型（还没想出好听的简称😅）

类似于：
forum.php?mod=viewthread&tid=5873
forum.php?mod=viewthread&tid=5313
forum.php?mod=viewthread&tid=5392
forum.php?mod=viewthread&tid=9587
等……

kuing

isee 发表于 2023-5-24 11:04
数据都是设计好的，不可随意配，否则涉及高次方程.

一样的题：

刚给本帖加了“二元最值”的标签，你这帖马上就显示出来了